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In 1922, Harald Bohr and Johannes Mollerup established a remarkable characterization of the Euler gamma function using its log-convexity property. A decade later, Emil Artin investigated this result and used it to derive the basic properties of the gamma function using elementary methods of the calculus. Bohr-Mollerup's theorem was then adopted by Nicolas Bourbaki as the starting point for his exposition of the gamma function. This open access book develops a far-reaching generalization of Bohr-Mollerup's theorem to higher order convex functions, along lines initiated by Wolfgang Krull, Roger Webster, and some others but going considerably further than past work. In particular, this generalization shows using elementary techniques that a very rich spectrum of functions satisfy analogues of several classical properties of the gamma function, including Bohr-Mollerup's theorem itself, Euler's reflection formula, Gauss' multiplication theorem, Stirling's formula, and Weierstrass' canonical factorization. The scope of the theory developed in this work is illustrated through various examples, ranging from the gamma function itself and its variants and generalizations (q-gamma, polygamma, multiple gamma functions) to important special functions such as the Hurwitz zeta function and the generalized Stieltjes constants. This volume is also an opportunity to honor the 100th anniversary of Bohr-Mollerup's theorem and to spark the interest of a large number of researchers in this beautiful theory.

Convex functions. --- Gamma functions. --- Functions, Convex --- Functions of real variables --- Functions, Gamma --- Transcendental functions --- Difference Equation --- Higher Order Convexity --- Bohr-Mollerup's Theorem --- Principal Indefinite Sums --- Gauss' Limit --- Euler Product Form --- Raabe's Formula --- Binet's Function --- Stirling's Formula --- Euler's Infinite Product --- Euler's Reflection Formula --- Weierstrass' Infinite Product --- Gauss Multiplication Formula --- Euler's Constant --- Gamma Function --- Polygamma Functions --- Hurwitz Zeta Function --- Generalized Stieltjes Constants

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Ce mémoire parcourt les différents polyèdres réguliers, nous y démontrons leur existence et unicité à similitude près. Nous parcourons également les groupes de symétries de ces polyèdres et nous terminons par la construction des polyèdres de Goldberg en y ajoutant une application en virogolie.

Polyèdres réguliers --- Goldberg --- Polyèdres géodésiques --- Symétries --- Convexité --- Physique, chimie, mathématiques & sciences de la terre > Mathématiques

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L’objectif de ce mémoire est d’appréhender les surfaces de Zoll, ces surfaces aux géodésiques toutes fermées et de même longueur. Dans la première partie, on présente un exemple de surface de Zoll plongée dans $mathbb{R}^3$ et non-isométrique à la sphère munie de sa métrique canonique : l’exemple historique d’O.Zoll. Un tel exemple est dit exotique. On présente également la remarquable poire de Tannery. Dans la seconde partie, on s’intéresse à l’ensemble des surfaces de Zoll abstraites. D’une part, nous obtenons une réduction significative du problème en montrant qu’il suffit de considérer les métriques de Zoll sur la sphère ou sur l’espace projectif de dimension 2 pour étudier les surfaces de Zoll abstraites à isométrie près. D’autre part, on caractérise les métriques de révolution 2 qui sont de Zoll. Tout au long de ce travail, un point d’intérêt a été attribué aux exemples et à leurs illustrations.

Surfaces --- Géodésiques --- Surfaces de Zoll --- Poire de Tannery --- Métriques de révolution --- Surfaces de révolution --- Géométrie différentielle --- Géométrie riemannienne --- Physique, chimie, mathématiques & sciences de la terre > Mathématiques

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Ce mémoire présente une introduction détaillée à la thermodynamique des groupes de Lie telle que développée par Jean-Marie Souriau. On y définit la notion d'états de Gibbs associés à une action hamiltonienne d'un groupe de Lie G via le problème de maximisation de l'entropie. On étudie les symétries des états de Gibbs par rapport aux actions de G ainsi que leur géométrie riemannienne, liée à la métrique de Souriau, cas particulier de la métrique de Fisher-Rao.

États de Gibbs --- Géométrie symplectique --- Théorie de Lie --- Thermodynamique des groupes de Lie --- Action hamiltonienne --- Géométrie statistique --- Information de Fisher Rao --- Physique, chimie, mathématiques & sciences de la terre > Mathématiques